正四面体内接球半径秒杀公式：r=l√6/12=0.2041l。
设正四面体是S－ABC，过点S作高线SH交底面ABC于点H，则内切球球心在SH上，设其半径是R，则主要就产生四个四面体：O－SAB、O－SBC、O－SCA、O－ABC，这四个四面体的高都是内切球的半径R，底面都是以a为边长是正三角形，利用等体积法可以求出内切球半径R的值。
性质
1、正四面体的每一个面是正三角形，反之亦然。
2、正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体。
3、正四面体是两组对棱垂直的等面四面体。
4、正四面体的各棱的中点是正八面体的六顶点。
正四面体的内切球半径r等于_
底面高h1=√3a/2,侧棱射影=h1*2/3=√3a/2*(2/3)=√3a/3, 高h=√[a^2-(√3a/3)^2]=√6a/3, 从侧棱作高的垂直平分线交高于O，O点就是外接球球心，a*a/2=R*h,R=√6a/4, 内切球半径r=h-R=√6a/3-√6a/4=√6a/12,
如何证明正四面体内切球半径为此正四面体高的四分之一，详解
R=（√6）a/4。a为正四面体的棱长。
设正四面体的棱长为a,求其外接球的半径.设正四面体V-ABC,D为BC的中点,E为面ABC的中心,外接球半径为R,则AD=（√3）a/2,AE=2/3*AD=（√3）a/3.在Rt△VAE中,有VE^2=VA^2-AE^2=a^2-a^2/3=(2a^2)/3,VE=(√6)a/3。
在Rt△AEO中,有AO^2=AE^2+OE^2=R^2+(VE-R)?^2,即R^2=a^2/3+[(√6)a/3-R]?^2,可解得：R=（√6）a/4.另外,我们也可以先求出OE,因为OE恰好是四面体的内切球的半径r。
利用等积法可求得r.设四面体的底面积为S,则1/3*S*（R+r）=4*1/3*S*r,可得r=R/3.于是在Rt△AEO中,有R^2?=?AE^2+r^2=a^2/3+R^2/9,从而得R=（√6）a/4。
扩展资料：
正四面体的性质：
1、正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，或等于四面体高线的一半。
2、正四面体的内切球与各侧而的切点是侧I面三角形的外心，或内心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命题均成立。
3、正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和。
4、正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。
5、对于四个相异的平行平面，总存住一个正四面体，其顶点分别在这四个平面上。
百度百科-正四面体
这个可以用体积法来做
设四面体ABCD，边长为1
首先求高
A做底面BCD的垂线AE，由对称性可以知道，E就是BCD的中心
延长DE交BC于F
DF=√3/2，EF=1/3DF=√3/6，AF=√3/2
所以AE=√(AF^2-EF^2)=√6/3
再求内切球半径，设球心为O，那么对称性可知O肯定在AE上
连接AO、BO、CD，将四面体分割成4个三棱锥O-ABC，O-ABD，O-ACD，O-BCD
那么VA-BCD=V O-ABC+V O-ABD +V O-ACD +V O-BCD=4V O-BCD
（因为对称性可以发现这四个体积是一样的）
所以1/3*H*S△BCD=4*1/3*h*S△BCD H是正四面体的高，h为内切球的半径
所以H=4h
可以发现，不用求高就可以得出结论了
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